sayılar...

önce rakamları tanıyalım ;)

rakamlar,sayıları oluşturmaya yarayan en küçük matematik birimidir....


rakamlar kümesi= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} olmak üzere 10 tanedir...9 değil(bu hataya çok düşülür..)

* a ve b 2 rakam olmak üzere a+b en çok kaçtır?

toplam en büyük olacaksa sayılarda en büyük seçilmeli..o halde;

a=9 seçilir.sayılarda farklılık aranmadığından b=9 olur ve

a+b=18 dir...


eğer a farklı b ise a=9 b=8 olup a+b=17 olacağına dikkat edelim... ;)



*a,b,c rakamlar olmak üzere

200a+25b+4c=1108 ise a+b+c=?


deneme ilede bulunabilecek bir soru olmasına rağmen şu şekilde bir çözüm daha uygun olur....

1108=5x200+108 108=4x25+8 8=4x2

burda mantık kalandan gitmektir...(bölme işlemini şekil itibariyle burda gösterebilseydim daha iyi olurdu)

a=5 b=4 c=2 olur ve a+b+c= 11 bulunur....



*150 sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırmak için kaç tane rakam kulanılır?


[color=navy]1-9 sayfalar arasında sadece bir basamaklı sayılar kullanılır bu sayfalar için 9 tane rakam kullanılır...

10-99 sayfalar arasında iki basamaklı rakamlar kullanılır (örneğin 23.sayfa için 2 ve 3 sayıları kullanılır bunlar iki tanedir) 10 ile 99 arasında 90 tane sayfa vardır ve her bir sayfa için 2 tane rakamsa

90x2=180 tane rakamda burda vardır....

100-150 arasında ise üç basamaklı sayılar kullanılır (örneğin 145.sayfa için 1,4 ve 5 rakamları kullanılır yain 3 tanedir..) 100 ile 150 arasında 51 sayfa vardır ve herbir sayfa için 3 rakam kullanılır ise

51x3=153 rakam kullanılır....

toplam 153+180+9=342 tane rakam bulunur.....

Sayı kümeleri.....

Doğal sayılar={0,1,2,3,...} sonsuz tanedir.....(0 doğal sayıdır!!!!!!!!!!!!)...''N'' ile gösterilir..

Sayma sayıları={1,2,3,...} sonsuz tanedir..... ''S'' ile gösterilir....


Tam sayılar={...-3,-2,-1,0,1,2,3,...} gösterimi ''Z'' harfidir...tamsayılar kümesi doğal sayılar kümesine negatif sayıların eklenmesiyle oluşur...


Rasyonel sayılar={a/b lerden oluşur...b sayısı sıfır olamaz} gösterimi ''Q'' harfidir...sonsuz elemanlıdır..

[color=teal]Q={-1/2,-7/3,1/5,100/3, -1,0,3,...} gibi elemanlardan oluşur...burda tam sayıların rasyonel olmadığı düşünülür genelde...bu bir hatadır! tamsayılar paydası 1 olan rasyonel sayılardır.... rasyonel sayılarda bölme işlemi mutlaka sonuçlanır..ya devreder yada tam sonuçlanır...örneğin 1/2=0,5 tir. 1/3=0,3333 şeklinde devirlidir..



İrrasyonel sayılar= rasyonel olmayan sayılardır....Gösterimi ''I'' harfidir.köklü sayılar pi ve e gibi sayılar irrasyoneldir...irrasyonel sayılar devretmezler...


pi=3,142857.... e=2,71.... şeklindedir...


[color=black]REEL(gerçel,gerçek) SAYILAR; şimdiye kadar yazdığımız tüm sayıları kapsayan en büyük kümedir.... ''R'' ile gösterilir..




S ( N ( Z ( Q=I ( R şeklinde bir kapsama sırası vardır... Q ile I arasında bir sıralama yapılamaz...

1) a,b doğal sayılar olmak üzere

a+b=24 ise

a.b en çok kaçtır?


A) 144 B) 143 C) 140 D) 136 E) 132

2) a,b doğal sayılar olmak üzere

a+b=15 ise

a.b en çok kaçtır?



A)56 B)54 C)225/4 D)225/2 E)50


3) a ve b reel sayılar olmak üzere

a+b= 15 ise a.b en çok kaçtır?


A)56 B)225/4 C)54 D) 225/2 E) 50


4) a,b tamsayılar olmak üzere

a.b= 64 ise

a+b tolamı en az kaçtır?



A)-65 B)-16 C)20 D) 34 E) 65



5) Bir torbada bulunan elmaların sayısının armutların sayısına oranı 3/5 ise torbadaki meyvaların sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 8 B)16 C) 32 D)76 E) 96



[b][b]6) z
x+y/z = 17 eşitliğini sağlayan x,y,z sayma sayıları için x+y+z en çok kaç olabilir
?


A) 46 B) 38 C) 36 D)34 E)30



[color=purple]çözümleri yapılacaktır...bu bölüme başlarken önce temel işlemler ele alınacaktır..daha sonra matematiğin dünyasınna hep birlikte gircez...
;)

çözümler

1) a+b toplamı verildiğinde çarpımın en büyük değeri istenirse sayılar birbirine yaklaştıkça çarpım büyüyecektir...

a+b=24 ise sayılar birbirine en yakın a=12 b=12 olur.bu durumda

a.b=12.12=144 bulunur....



2) 1. sorudan çok az bir farkla ayrılan bu soru içinde mantık aynıdır...yani sayılar birbirine en yakın olmalıdır....


birbirine en yakın toplamı 15 olan iki sayı 8 ile 7 dir...

a=8 ve b=7 seçilirse çarpım en büyük olur...

a.b= 56 bulunur...



3) bu soru 2.sorunun aynısı gibi görünsede aynıı değildir....neden derseniz üstteki soruda a ile b sayıları ddoğaldı burda ise reel.....

yani sayılar birbirine en yakın seçilirken tam olması beklenemez..yani toplamları 15 olan birbirine en yakın iki sayı

15/2 ile 15/2 dir....

a=15/2 ve b=15/2 seçilirse çarpım en büyük olur..yani


a.b=225/4 bulunur....


4)Çarpımları verilen bu iki ayı için toplamın küçük olması isteniyor...

sayıların türü tamsayı..yani negatif pozitif farketmez..o halde toplamı küçültmek istiyorsak mümkün olduğu kadar sayıları negatif seçmeliyiz....

a=-64 ve b=-1 seçilirse çarpım sağlanır ve toplam en küçük olur....o halde toplam en küçük

a+b=-64+(-1)=-65 olur...



5) Armutlara A, elmalara E diyelim....


A/E=3/5 ise A=3k E=5k olur... yani karşılarındaki sayıların katları durumundadırlar...

o zaman torbadaki toplam meyve sayısı 3k+5k=8k olacaktır.yani meyve sayısı 8'in katı olmalıdır.

seçeneklerde 8 sayısının katı olmayan tek sayı 76 dır....(soruda k=1,2,4,12 seçilerek diğer seçenekler elde edilir)



6)her soruda olduğu gibi bu sorudada sayıların türüne baklım..sayılarımız sayma sayıları...

şimdi

x+y/z=17 ise x en fazla 15 olur...neden mi?
çünkü

x>15 olursa örneğin x=16 olsun bu durumda y/z=1 olur ki bu y=z demektir bu ise ilk verilen şarta engeldir..
x=17 olursa y/z=0 olurki bu y=0 demektir bu ise y nin sayma sayısı olduğu gerçeğine terstir...


kısaca x en fazla 15 tir...peki x=15 olsun..

y/z=2 olur...y sayısı x ten küçük olmalı y sayısı x=15 ten küçük olacak ve en büyük olacaksa y=14 olur...

y=14 ise y/z=2 eşitliğinden z=7 bulunur... x+y+z=15+14+7=36 olur....

* a ve b doğal sayılar olmak üzere

3a+2b = 24


eşitliğini sağlayan kaç tane (a,b) ikilisi bulabiliriz?



çözüm:

soruyu iki koldan ele alalım:

istersek deneme yanılma metodu ile bulabiliriz.yani

a ve doğal sayılar ise a=0 için b=12 dir. a=1 için b doğal sayı değildir..şeklinde giderek

(0,12) (2,9) (4,6) (6,3) (8,0) olup 5 tanedir diyebiliriz...





diğer bir şekil ise değişkenlerden birini yalnız bırakmaktır.
örneğin b yalnız kalsın

b=24-3a
2

olur...burada a doğal sayısına değerler vererek b yi bulabiliriz..işte a=0 ise b=12 gibi değerler verip yukardaki ikilileri elde edebiliriz....




[color=blue]bir diğer ve en güzel yöntemide söylemeden geçmiyim ;)

a veya b sayılarından birine bu denklemi sağlayan en küçük sayı değeri verilir..bu soru için mesela

a=0 verelim(siz isterseniz b yide değrlendirebilirsiniz) bu durumda b=12 olur...bu değeri yanyana yazalım....


a=0 b=12 şimdi soruda bize verilen a ve b katsayılarına dikkat edin... a nın katsayısı 3 b ninki 2

değilmi (3a+2b idi ya onu diyorum :) )

bulduğumuz ilk ikili olan (0,12) değerini artırıp azaltmaya başlayalım...nasılmı? şöyleki:

küçük olan a yı b nin katsayısı kadar artıralım,büyük olan b yi a nın katsayısı kadar azaltalım:

a=0 dı. a yı b nin katsayısı olan 2 artıralım b=12 idi.b yide anın katsayısı olan 3 kadar azaltalım..bunu her ikili için yapalım..sonuç ilk bulduğumuz ile aynıdır...

son yöntem uzun anlatılsada en kısa ve kolay olanıdır...

Allah razı olsun kardes

amin kardeşim hepimizden inşallah


Lise 1-2-3